长方体与正方体 — 苏教版5年级下册

▣ 3D 旋转模型 — 拖动可旋转

① 面、棱、顶点

6

面（faces）

12

棱（edges）

8

顶点（vertices）

面

6个面，每个面都是长方形（特殊时是正方形）
相对的两个面形状、大小完全相同，称为相对面。共3对相对面。
棱

12条棱，相对的棱长度相等
棱分3组，每组4条，分别等于长(l)、宽(w)、高(h)。
所有棱长之和 = 4(l+w+h)
顶

8个顶点，每个顶点有3条棱相交
顶点是三条棱的交汇处。

② 长方体的特征

💡 正方体是特殊的长方体 — 当长方体的长、宽、高都相等时，就成为正方体。

1

6个面都是长方形
（有时会出现1~2对正方形）
2

相对的面完全相同
面积相等，形状相同
3

相对的棱长度相等
12条棱分3组各4条，同组等长
4

所有的角都是直角
每个面的4个角都是90°

③ 正方体的特征

1

6个面都是正方形
每个面面积完全相同
2

12条棱长度全部相等
设棱长为 a，每条棱都等于 a
3

所有的角都是直角
同长方体，每个面的角都是90°

⊞ 什么是展开图？

将长方体（正方体）的各个面沿棱剪开，摊平成一个平面图形，就叫做该立体图形的展开图（表面展开图）。

正方体共有 11种 不同的展开图；长方体展开图不唯一，但每种展开图必须有 6个矩形面。

▷ 折叠/展开演示 — 铰链翻转动画，可拖拽旋转

前面固定不动，上/下/左/右各面沿铰链翻转90°，后面连接在右面之后。点击按钮或直接点击3D盒子切换展开/折叠。

📦 折叠状态（立体盒子）— 拖拽旋转 | 点击切换

★ 正方体展开图的"1-4-1"记忆法

1-4-1 型（十字型）

中间一列4个面，上下各1个面，最常见！

2-3-1 型

一列3个面居中，旁边2个，最后1个

2-2-2 型

每列2个面，共3列

🚫 判断方法：相对的两个面不能重叠。折叠后若有面重叠，则不是有效展开图。

S 什么是表面积？

一个立体图形所有面的面积之和，叫做这个立体图形的表面积。

包装盒用料涂漆面积布料用量纸板裁剪

□ 长方体表面积

长方体表面积公式

S = 2(lw + lh + wh)

l=长，w=宽，h=高
共6个面 → 3对相对面，每对面积相加后×2

①

上、下两个面：各 l×w
面积 = 2×l×w
②

前、后两个面：各 l×h
面积 = 2×l×h
③

左、右两个面：各 w×h
面积 = 2×w×h
合

S表 = 2(lw + lh + wh)
将以上三组面积相加

■ 正方体表面积

正方体表面积公式

S = 6a²

a=棱长；6个完全相同的正方形面，每面面积 = a×a = a²

💡 正方体是长方体的特例：令 l=w=h=a 代入 2(lw+lh+wh) = 2(a²+a²+a²) = 6a²

⌘ 交互计算器

长 l (cm)

宽 w (cm)

高 h (cm)

表面积

—

cm²

计算过程

输入数值后自动计算

例典型例题

题：一个长方体纸箱，长40cm，宽30cm，高20cm，制作这个纸箱至少需要多少纸板？

上下面：2×40×30 = 2400 cm²
前后面：2×40×20 = 1600 cm²
左右面：2×30×20 = 1200 cm²
S = 2(40×30 + 40×20 + 30×20) = 2×(1200+800+600) = 2×2600 = 5200 cm²

V 什么是体积？

物体所占空间的大小，叫做这个物体的体积。计量体积用体积单位，常用的有：

cm³

立方厘米

dm³

立方分米

m³

立方米

单位换算：1 m³ = 1000 dm³ = 1,000,000 cm³
1 dm³ = 1 L（升）；1 cm³ = 1 mL（毫升）

⊟ 体积 = 底面积 × 高（层叠理解）

层数: 3

f() 体积公式

长方体体积

V = l × w × h

l=长，w=宽，h=高；也可写作 V = S底 × h

正方体体积

V = a³（a的三次方）

a=棱长；a³ = a×a×a

⌘ 体积计算器

长 l (cm)

宽 w (cm)

高 h (cm)

体积

—

cm³

计算过程

输入数值后自动计算

◎ 容积 vs 体积

	体积	容积
含义	物体占据的空间大小	容器能装的液体体积
测量	量外部尺寸	量内部尺寸
关系	容积 ≤ 体积（实心体无容积）

📦 做题时注意：若题目问"装多少"→用容积（内尺寸）；若问"制作用料"→用表面积（外尺寸）

≡ 长方体 vs 正方体全对比

比较项	长方体	正方体
定义	6个面均为长方形的立体图形	6个面均为正方形的立体图形
面的个数	6个	6个
面的形状	长方形（可含正方形）	6个完全相同的正方形
棱的个数	12条	12条
棱的长度	相对的棱相等（3组各4条）	12条棱全部相等
顶点数	8个	8个
表面积	S = 2(lw + lh + wh)	S = 6a²
体积	V = l × w × h	V = a³
关系	正方体是特殊的长方体（l = w = h = a）

📋 公式汇总记忆卡

棱长总和

4(l+w+h)

长方体

棱长总和

12a

正方体

长方体表面积

2(lw+lh+wh)

展开后6面面积之和

正方体表面积

6a²

6面完全相同

长方体体积

V = lwh

也可写：S底×h

正方体体积

V = a³

a的三次方

→ 学习重点路线

1

认识面、棱、顶点
熟记：6面、12棱、8顶点；相对面相等，相对棱相等
2

掌握展开图判断
理解"展开折叠"思路，判断是否有效展开图
3

熟练表面积计算
S = 2(lw+lh+wh)，注意"有盖/无盖"等特殊情形
4

掌握体积与容积
V = lwh；区分体积（外尺寸）与容积（内尺寸）

点击选项检验你的掌握程度 — 共 6 题

已完成：0 / 6

1. 长方体有多少条棱？

A. 6条

B. 12条

C. 8条

D. 4条

长方体共有12条棱，分3组，每组4条，同组等长。

2. 一个正方体的棱长为5cm，它的表面积是多少？

A. 25 cm²

B. 125 cm²

C. 150 cm²

D. 100 cm²

S = 6a² = 6×5² = 6×25 = 150 cm²

3. 下列关于正方体说法正确的是：

A. 正方体不是长方体

B. 正方体是特殊的长方体

C. 正方体只有4个面

D. 正方体的棱有8条

正方体是长、宽、高全相等的特殊长方体，有6个面、12条棱、8个顶点。

4. 一个长方体，长8dm，宽5dm，高3dm，它的体积是多少？

A. 79 dm³

B. 158 dm³

C. 120 dm³

D. 240 dm³

V = l×w×h = 8×5×3 = 120 dm³

5. 制作一个没有盖子的长方体纸箱（长10cm，宽8cm，高6cm），至少需要多少纸板？

A. 376 cm²

B. 296 cm²

C. 480 cm²

D. 256 cm²

无盖=总表面积-底面积×1（少1个底面）
全表面积=2(10×8+10×6+8×6)=2(80+60+48)=2×188=376cm²
无盖=376−10×8=376−80=296 cm²

6. 棱长为3cm的正方体，其体积是多少？

A. 9 cm³

B. 18 cm³

C. 27 cm³

D. 54 cm³

V = a³ = 3×3×3 = 27 cm³

长方体和正方体